Why is the rum gone? - «Опишите точно, что Вы хотите, и я точно скажу, что я не могу для Вас сделать»

Когда я был студентом младших курсов, я подавлял свою вредность и не спрашивал, что понимают люди под словами «дифференциальное уравнение» и «решить дифференциальное уравнение». Потому что я наивно надеялся, что об этом расскажут потом. Я ошибся.

Хотя, в общем-то, студент факультета прикладной математики имеет право поинтересоваться, какова точная формализация того алгоритма, который проводят занимающиеся математикой школьники и практикующие инженеры / физики, решая «дифференциальное уравнение».

Единственный ответ на этот вопрос, который я сейчас могу придумать, звучит так: «выразить [в некоторым отдельно уточняемом алгебраическом смысле] решение данного дифференциального уравнения через решения некоторых эталонных дифференциальных уравнений».

Самое смешное в том, что эта задача не имеет решительно никакого отношения к анализу и является чисто алгебраической. Вопрос же о том, может ли физик-теоретик в принципе ответить на тот или иной интересующий его вопрос, не решая эту алгебраическую задачу, не ставился в моём присутствии никем и никогда. Когда же я его ставил вслух, люди попросту отказывались понимать, о чём идёт речь. Я согласен, впрочем, что это вопрос слишком пафосный. Например, одна из его вариаций звучит так: «можно ли узнать, за какое время остынет данное тело сложной геометрической формы, не решая явно* соответствующее уравнение в частных производных — но, тем не менее, используя это “уравнение” (то есть, какой-то таинственный идеал в какой-то таинственной алгебре) как математический объект в некоторой цепочке рассуждений?»

С этой колокольни процедура «поиска точного решения» на самом деле выглядит довольно забавно. Человек разложил решение в какой-то там ряд, каждый элемент которого почему-то вызывает приятные эмоции (наверное, потому, что эффективно рассчитывается вплоть до численных значений), — и это ВНЕЗАПНО признаётся верхом ожиданий. Мол, «найти точное решение» и означает полностью и окончательно разделаться с уравнением, неслыханная удача и всё такое.

Сомневаюсь. Это всего лишь один из множества способов переписать исходную строчку, содержащую дифференциалы. Почему он должен быть наиболее insightful из всех возможных? Нет к этому никаких объективных предпосылок.

___________
* Хотелось бы добавить «или численно» — но тут более тонкий момент, связанный с тем, что время остывания не инвариантно, а измеряется в некоторых условных единицах.