?

Log in

No account? Create an account
записи соседство календарь хуэмай журнал ...Ранее ...Ранее Далее... Далее...
Вы думаете, кривая — это такая изогнутая линия? - Why is the rum gone?
That's not good enough
akater
akater
Вы думаете, кривая — это такая изогнутая линия?
Вы думаете, кривая — это такая изогнутая линия?

История с мотивацией, интерпретацией, выводами и примечаниями


0. Мотивация

Люди вот спорят: то ли математика — лишь служанка физики, то ли физика — лишь подопечная математики, или же это вообще четыре совершенно разных человека некорректный вопрос. Споры эти продиктованы суровой реальностью: математика-де, стала слишком абстрактной, да и физика тоже; есть строители теорий, а есть решатели задач, и так далее, и так далее… а студенты меж тем с каждым годом понимают всё меньше и меньше, и из благородного занятия математика, кажется, превратилась в игру в символы. Где же истина?

В очередной раз я пытаюсь ответить, почему студенты понимают всё меньше и меньше. Для меня является аксиомой утверждение о том, что когда эта проблема будет решена, споры про служанок и подопечных закончатся, и тогда мы «все вместе сядем и начнём считать», в точности, как предлагал примирять спорщиков Лейбниц (ну, если не ошибаюсь, это именно он так говорил; а вообще-то надо будет проверить).


1. История

Математикам очень свойственна любовь к отображениям. «Отображением» они уважительно называют то, что простые люди (типа «инженеров») называют функцией. У функций, помимо уважительного имени «отображение», есть и сакральное имя «морфизм», но морфизмами математики называют только те функции, которые устроены очень хорошо, образцово-показательно. А простым людям слово «морфизм» ни к чему. Впрочем, уважительное обращение к функции по имени «отображение» и в самом деле очень полезно. Если встретите где-нибудь функцию f : XY — не стесняйтесь называть её время от времени отображением множества X в множество Y, а если, к тому же, образ множества X при отображении f совпадает со всем множеством Y, то можно даже назвать f отображением множества X на множество Y. Это сразу выдаст в вас искушённого человека, а не «просто инженера».

Математики, на самом-то деле, только изучением отображений и занимаются, поэтому немудрено, что они их так любят. Скажу больше: математики настолько любят отображения, что очень часто посвящают им знаменитые своей строгостью математические определения. Вы думаете, кривая — это такая изогнутая линия? Математики думают иначе: кривую они определяют как некоторое отображение, образом которого является эта самая изогнутая линия.1) Это далеко не единственный пример, это тенденция. Обычные люди называют семейством набор {x1, x2, x3, …} (конечный или бесконечный) занумерованных элементов, но математики называют семейством некоторое отображение, образом которого является этот набор.2) Совсем смешно получается, когда простые люди называют представлением чисел (векторов, функций и т.д.) запись этих чисел (векторов, функций и т.д.) в какой-то специальной форме, а математики в ответ на это начинают твердить, что представление — это на самом деле некоторое отображение, образом которого является та специальная форма, в которой мы записываем числа (векторы, функции и т.д.).3)

Неизвестно, почему математики поступают именно так, намеренно запутывая простых людей своими выдумками, — но неизвестно лишь до поры до времени, пока сам не станешь математиком и не обнаружишь с удивлением, что эти запутанные определения, в которые математики норовят вставить слово «отображение» или даже словечко похлеще («морфизм»), очень даже естественны. И тогда простые люди, уже ставшие математиками, начинают объяснять тем простым людям, которые только готовятся стать математиками, что кривая это отображение, семейство это отображение, и представление — тоже… Удивительно, но так и в самом деле повторяется из года в год. Студенты приходят на лекции, выслушивают непонятные определения, тратят годы на то, чтобы понять, о чём в этих определениях на самом деле идёт речь, а впоследствии (некоторые из них) рассказывают те же самые непонятные истории новым студентам, всерьёз удивляясь: «Ну чего же тут непонятного, ребята?». Получается, что возможны только два варианта: либо «устаревшая математика» в доступном изложении, либо «современная математика» в недоступном изложении. Всё это может приводить к следующим двум убеждениям:

(1) современная математика — занятие для избранных;
(2) классическая, то есть, «устаревшая» математика — блюдо для тупых и отсталых, а также для «простых инженеров».

И что же дальше?


2. Интерпретация

Как (1), так и (2) — заблуждения. Прежде всего, «устаревшей математики» не бывает, а бывают: а) устаревшее изложение; б) ставшие неактуальными задачи.

К пункту б) мы ещё как-нибудь вернёмся, но в другой раз; пока же обратим внимание на а) — тут тоже хватает материала для размышлений. Итак, есть устаревшее изложение и есть современное изложение. Именно в этом уверено абсолютное большинство математиков, и хорошо, потому что это чистая правда. Беда4) в том, что в наши дни разница между современным и устаревшим изложениями чувствуется особенно остро, а вот разница между современным и модернистским изложениями, увы, нередко не чувствуется вообще, и два этих понятия сливаются в единое целое, как точки в нехаусдорфовом пространстве. И правда, казалось бы, чего тут чувствовать — современный и есть модернистский. Однако в данном случае лингвистическое сходство обманчиво, и присутствует оно не в той области, где надо.

Модернистская художественная литература запомнилась человечеству, в частности, тем, что зашифровывала мысль. Это был такой художественный приём. Модернистская научная литература точно так же зашифровывает мысль, а вот к чему он нужен, этот приём, нам пока не известно. Не исключено, что он также художественный: возможно, Кафка и Фолкнер, «Улисс» и «Петербург»5) настолько по нраву пришлись впечатлительным интеллектуалам, что они решили и о математике писать так, чтобы понять их тексты можно было только после исследования, расшифровки, разгадывания загадок, вхождения в искусно сплетённый лабиринт из бисера. А возможно, модернисты-писатели всего лишь почувствовали своими фибрами тьму помешательства, постепенно обволакивающую человечество, и их труды явились не причиной омодернизирования реальности, а лишь одним из её признаков.6) Как бы то ни было, положительное для искусства далеко не всегда положительно для науки и образования. Наличие постмодернистской ямы, в которую скатилась математика и в которую вполне могут упасть (если ещё не упали) все дисциплины, с которыми она связана, является тому подтверждением.


3. Выводы

Я охотно верю, что модернистское математическое изложение навсегда повергло своего позитивистского предка, добродушно щипавшего травку в XIX веке, в результате естественного отбора. У тех идей (теория множеств, абстрактная алгебра, математическая логика), без которых не было бы модернизма в математике, несомненно, больше светлых сторон, чем тёмных. В то же время я ни капли не сомневаюсь, что откат неизбежен. Jurgen Jost считает, что этот откат на самом деле и следует именовать постмодерном в науке. Сейчас я мог бы противопоставить модернизму авангард, но я этого делать не хочу, потому что примеров авангардистского изложения математических идей наверняка крайне мало (я не могу припомнить ни одного, хотя небезызвестная книга У. Рудина по основам анализа имеет в себе немножко этого авангардистского заряда), а главное — потому что их и не должно быть много. Потому что от авангардной эстетики один шаг до банального ангажирования публики, а это уж в точности та самая псевдонаука, о которой нынче наслышаны все. Между прочим, свою лепту в размножение таких авангардистов внесли и модернистские обороты типа этого: 2).

История про «отображения», с которой я начал этот рассказ, даёт не единственный и не главный, но наглядный даже для постороннего человека пример того, как математическое образование создаёт преграды самому себе. Собственно ответ на вопрос, почему студенты понимают всё меньше и меньше, изложен в п.2.


4. Примечания

1) Более точное определение: кривой в (топологическом) пространстве E называется непрерывное отображение f : [0; 1] → E.

2) Более точное определение: семейством {xi}iєI элементов множества X называется отображение f : IX. (В скобках замечу, что этот пример даже среди себе подобных выглядит натуральным мракобесием.)

3) Более точное определение: представлением (группы) G в (пространстве) X называется гомоморфизм f : G → Aut(X).

4) Некоторые заслуженные пожилые академики полагают, что это даже катастрофа.

5) Авторства Дж. Джойса и А. Белого соответственно.

6) Человеку с тем уникальным, свойственным только России, отношением к искусству, скорее захочется поверить в первую версию. Человеку более прагматического склада ума и характера — во вторую.

______________
История рассчитана на весьма широкий круг читателей.

Tags: , , ,

Комментариев: 61 >< выразиться
Comments
sotona665 From: sotona665 Date: le 27 septembre 2008 19:15 (UTC) (Ссылка)
Поставил ссылочки.

З.Ы. А ты меня по рейтингу обгоняешь как-то дико ваще.)
akater From: akater Date: le 28 septembre 2008 16:46 (UTC) (Ссылка)
> по рейтингу обгоняешь

«Стыдно, товарищ.» ))
akater From: akater Date: le 28 septembre 2008 16:47 (UTC) (Ссылка)
(Стыдно про рейтинги-то вспоминать. Это всё не более, чем бурление говн и яндекс-цирк.)
yvk From: yvk Date: le 27 septembre 2008 21:23 (UTC) (Ссылка)
Немного пафосно о банальном, но ничего так, красиво излагаете.
Я так понял, что у бурбакистов теория была, типа коммунистической, хотя
А.Вейль открещивается, мол не надо проводить параллели. Умертвить и любоваться своей умнотой. Собственно, поэтому (так показалось, из-за высокомерия, левого высокомерия, полубожественного) Гротендик и ушел.
Посмотрел, ужаснулся и пошел в монахи, типа.
Заметьте, что классики, их не так много, и не те, что на слуху - Чеботарев,
например, или Шафаревич или Колмогоров - писали очень ясно, иногда коротко,
но ясно, не злоупотребляли морфизмами. Страсть к умному изложению у современных подражателей, не подкреплена хорошим знанием истории вопроса.
И они, зачастую сами не понимают, что пишут, и более того, разучились читать работы написанные человеческим языком, где и мотивировки понятны и
история не затушевывается, не шифруется... ведь современные работы современных авторов читают только современные рецензенты (как правило знакомые современных авторов). Поэтому смешно получается. Не всюду так,
но почти всюду. Причем число это невелико, которое почти.
From: dmitri_pavlov Date: le 27 septembre 2008 21:34 (UTC) (Ссылка)
Вообще-то, во времена Чеботарёва «морфизмов» (аппарата теории категорий) ещё не было.
Колмогоров и Шафаревич значительную часть жизни проработали без них,
а когда их ввели, по старинке обходились без них.

Современные классики — Атия, Гротендик, Серр, Картан, Делинь —
все активно пользуются аппаратом теории категорий и нисколько этим не смущаются.
buddha239 From: buddha239 Date: le 31 janvier 2011 22:47 (UTC) (Ссылка)
Думаю, мотивировка и история вопроса - мечта любого рецензента: хочешь - читаешь в качестве развлечения, не хочешь - пропускаешь и начинаешь искать содержание работы.:) Вот если содержания не находишь - тады ой...:)
From: dmitri_pavlov Date: le 27 septembre 2008 21:44 (UTC) (Ссылка)
>1) Более точное определение: кривой в (топологическом) пространстве E называется непрерывное отображение f : [0; 1] → E.
>2) Более точное определение: семейством {xi}iєI элементов множества X называется отображение f : I → X. (В скобках замечу, что этот пример даже среди себе подобных выглядит натуральным мракобесием.)
>3) Более точное определение: представлением (группы) G в (пространстве) X называется гомоморфизм f : G → Aut(X).

Автор серьёзно сомневается в полезности этих определений?
Или это такой утончённый стёб, недоступный моему примитивному разуму?

Вообще, математика без точных определений очень быстро вырождается в схоластику,
где ничего нельзя понять, доказать или опровергнуть.
Прекрасный пример этого можно найти в книге Лакатоша «Доказательства
и опровержения». (Рекомендуется к прочтению.)
А ещё вспоминается очень забавная (в своей идиотичности) дискуссия,
где участники на полном серьёзе спорят, верно ли, что 0.(9) = 1?
И всё потому, что они не знали соответствующих определений.
akater From: akater Date: le 27 septembre 2008 23:26 (UTC) (Ссылка)
> Автор серьёзно сомневается в полезности этих определений?

У меня дальше по тексту

неизвестно лишь до поры до времени, пока сам не станешь математиком и не обнаружишь с удивлением, что эти запутанные определения, в которые математики норовят вставить слово «отображение» или даже словечко похлеще («морфизм»), очень даже естественны.

И здесь я не лукавлю. Приходит время, и действительно становится ясно, что все три определения полезны, и важно иметь в голове именно их. Но до них следует дозреть. Дело в том, что я видел записки лекций, в которых говорилось, что аналитическое исчисление — это такой гомоморфизм, что [...], и перед этим вообще никаких вводных слов не было. Когда я прочитал у Дьёдонне (в этой его бесчеловечной книге, где в указателе даже ссылок на страницы нет, а есть только ссылки на раздел и пункт) определение семейства, я некоторое время вообще не мог взять в толк, о чём речь. Пришлось расшифровывать, я расшифровывал несколько дней (я, правда, тогда учился ещё в школе). Но я видел, что есть глубокая разница между книгами: в одних написано понятно, а в других нет, хотя в обоих вроде бы «про анализ».

Короче говоря, эти определения хороши, иначе бы их не придумали. Но хороши в своё время.
From: dmitri_pavlov Date: le 27 septembre 2008 22:09 (UTC) (Ссылка)
Вообще-то, проблема в том, что в математике главенствует первая культура,
а в математическом образовании — вторая. Неудивительно, что
студенты понимают всё меньше и меньше реальной математики.

Непонятно, чем так возмущается автор: ведь сейчас в математическом
образовании царит полный «позитивизм» — курс анализа и диффоператоров читается также,
как и в 1900 году, курс функционального анализа и теории меры — также, как
и в 1930 году.

Категории, пучки и когомологии, без которых в современной математике
и шагу нельзя ступить, в университетской программе даже не упоминаются.
Определения 1, 2, 3 — вполне себе позитивистские определения,
впрочем, в большинстве университетов обходятся без них.
(Помнится, заглянул я на курс функана в родном ЛИТМО, и слышу
там такое «определение»: «Пространство — это множество, в котором
задано понятие сходимости.».)

В принципе, понятно, как решать эту проблему —
надо разделить нынешние отделения математики на отделение
математики первой культуры и отделение математики второй культуры.
На первом будут изучаться пучки, когомологии, высшая К-теория,
стеки, симметрические спектры, топосы Гротендика, Д-модули, превратные пучки и прочую современную математику.
Студенты после окончания этого отделения будут с ходу понимать половину
статей в приличных разделах arxiv.org (вроде AG, AT, DG),
а может даже и больше.
Математика на этом отделении будет преподаваться в «модернистском» изложении (в терминологии автора заметки) по современным учебникам.

На втором отделении будут изучать комбинаторику, дискретную математику,
статистику, дискретную теорию вероятностей, жёсткий (hard) анализ и прочие аналогичные дисциплины.
Студенты после окончания этого отделения смогут работать учителями математики
в школах и преподавателями «высшей» математики в вузах.
Они будут успешно проводить вступительные экзамены по (вступительной) математике и математические олимпиады.

Конечно, честность и порядочность требует, чтобы студентам перед
поступлением объяснили, что на втором отделение почти все являются
жуликами и шарлатанами (прямо как на гуманитарных предметах), но боюсь, что современная политкорректность
не позволит этого сделать.

Во всяком случае, такое разделение поможет существенно
уменьшит существующий конфликт в математическом образовании
и прекратит многие бессмысленные споры.

akater From: akater Date: le 27 septembre 2008 23:36 (UTC) (Ссылка)
> «Пространство — это множество, в котором задано понятие сходимости.»

Хорошие слова, с них вполне можно начинать. А потом объяснить, что на самом деле задать класс сходящихся последовательностей и задать топологию — это всё же разные вещи (у нас, увы, этого не сделали, потому что человек, которому понадобилось топологические пространства в кусре УрЧП, настолько не любил модернистское изложение, что читал лекции «вызывающе неправильно», но я мог понять его чувства). Однако в первом приближении вполне можно пользоваться словами про сходимость. Потому что суть именно в этом, в непрерывности. Тонкие детали типа «сходимость это секвенциальная непрерывность» и «классы сходящихся последовательностей могут совпадать в топологиях разной силы» — не должны влиять на первые слова лекции. Это как с разложением по степеням малого параметра: сначала нулевое слагаемое, и только потом первое, а уж вот за ним второе, невзирая на то, что именно второе может оказаться самым интересным, и ради него всё затевалось.
From: dmitri_pavlov Date: le 27 septembre 2008 23:42 (UTC) (Ссылка)
Вот именно, что на курсе в ЛИТМО это подавалось как настоящее
определение, а больше ничего не говорилось. Такой вот позитивизм.

Я уже где-то писал, что последовательности (сходящиеся
и фундаментальные) — это артефакт развития анализа.
В современном изложении лучше обходиться без них,
а вместо этого использовать более наглядные топологические
аргументы (открытые множества, например).
akater From: akater Date: le 27 septembre 2008 23:45 (UTC) (Ссылка)
> и прекратит многие бессмысленные споры

Честное слово, я совсем не считаю, что та мини-дискуссия, которая иногда получается у меня в журнале на это тему, бессмысленна. Лично мне, по крайней мере, она приносит пользу, и мне очень важно, чтобы остались зафиксированными мнения обеих сторон. Я не обвиняю в шарлатанстве ни модернистов, ни классиков, я хочу обоих понять и найти выход из кризиса, который, как я считаю, действительно имеет место.
buddha239 From: buddha239 Date: le 31 janvier 2011 22:52 (UTC) (Ссылка)
А почему комбинаторы (математические) и жесткие аналитики - жулики?:)
agvares From: agvares Date: le 30 janvier 2011 01:03 (UTC) (Ссылка)
*если, к тому же, образ множества X при отображении f совпадает со всем множеством Y, то можно даже назвать f отображением множества X на множество Y*

это можно даже назвать сюрьективным отображением)
akater From: akater Date: le 30 janvier 2011 01:12 (UTC) (Ссылка)

Можно. Но не стоит.

1. «Сюръективный» пишется через твёрдый знак. Так что при текстовом общении можно и в неловкую ситуацию попасть.

2. Для некоторых это звучит как ругательство. А смысл-то тот же — «отображение на» это просто перевод с французского.
Комментариев: 61 >< выразиться